试题
题目：
已知关于x的方程x
2
-kx+k
2
+n=0有两个不相等的实数根x
1
．x
2
，且（2x
1
+x
2
）-8（2x
1
+x
2
）+15=0．
（1）求证：n＜0；
（2）用k的代数式表示x
1
．
答案
（1）证明∵关于x的方程x
2
-kx+k
2
+n=0有两个不相等的实数根，
∴△=k
2
-4（k
2
+n）＞0，
∴n＜-
3
4
k
2
，
而
3
4
k
2
≥0，即-
3
4
k
2
，≤0，
∴n＜0；
（2）解：根据题意得x
1
+x
2
=k，
∴x
2
=k-x
1
，
∵（2x
1
+x
2
）-8（2x
1
+x
2
）+15=0．
∴-7（2x
1
+k-x
1
）+15=0．
∴x
1
=
15-7k
7
．
（1）证明∵关于x的方程x
2
-kx+k
2
+n=0有两个不相等的实数根，
∴△=k
2
-4（k
2
+n）＞0，
∴n＜-
3
4
k
2
，
而
3
4
k
2
≥0，即-
3
4
k
2
，≤0，
∴n＜0；
（2）解：根据题意得x
1
+x
2
=k，
∴x
2
=k-x
1
，
∵（2x
1
+x
2
）-8（2x
1
+x
2
）+15=0．
∴-7（2x
1
+k-x
1
）+15=0．
∴x
1
=
15-7k
7
．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
根与系数的关系；根的判别式．
（1）根据一元二次方程根的判别式得到△=k
2
-4（k
2
+n）＞0，则n＜-
3
4
k
2
，由于-
3
4
k
2
，≤0，则可得到n＜0；
（2）根据根与系数的关系得到x
1
+x
2
=k，则x
2
=k-x
1
，代入（2x
1
+x
2
）-8（2x
1
+x
2
）+15=0后变形可得到x
1
=
15-7k
7
．
本题考查了一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x
1
，x
2
，则x
1
+x
2
=-
b
a
，x
1
·x
2
=
c
a
．也考查了一元二次方程根的判别式．
证明题．
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