试题

题目：
已知方程x2-2ax+a=4
（1）求证：方程必有相异实根
（2）a取何值时，方程有两个正根？
（3）a取何值时，两根相异，并且负根的绝对值较大？
（4）a取何值时，方程有一根为零？
答案
解：（1）方程x2-2ax+a=4，可化为：x2-2ax+a-4=0，
∴△=4a2-4（a-4）=4(a-
1
2
)2+15＞0恒成立，故方程必有相异实根．
（2）若方程有两个正根x1，x2，则x1+x2=2a＞0，x1x2=a-4＞0，解得：a＞4．
（3）若方程有两根相异，并且负根的绝对值较大，则可得：x1+x2=2a＜0，x1x2=a-4＜0，解得：a＜0．
（4）若方程有一根为零，把x=0代入方程x2-2ax+a=4，得：a=4．
解：（1）方程x2-2ax+a=4，可化为：x2-2ax+a-4=0，
∴△=4a2-4（a-4）=4(a-
1
2
)2+15＞0恒成立，故方程必有相异实根．
（2）若方程有两个正根x1，x2，则x1+x2=2a＞0，x1x2=a-4＞0，解得：a＞4．
（3）若方程有两根相异，并且负根的绝对值较大，则可得：x1+x2=2a＜0，x1x2=a-4＜0，解得：a＜0．
（4）若方程有一根为零，把x=0代入方程x2-2ax+a=4，得：a=4．
考点梳理
根与系数的关系；根的判别式．
（1）根据△＞0恒成立即可证明．
（2）由方程有两个正根，根据根与系数的关系即可求出a的取值．
（3）由方程有两根相异，并且负根的绝对值较大，根据根与系数关系解答．
（4）令x=0代入方程求解即可．
本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键是熟记x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q．
计算题．
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