试题
题目：
已知关于x的方程
1
4
x
2
-(m-2)x+
m
2
=0
是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224？若存在，求出满足条件的m的值．
答案
解：假设存在，则有x
1
2
+x
2
2
=224．
∵x
1
+x
2
=4m-8，
x
1
x
2
=4m
2
，
∴（x
1
+x
2
）
2
-2x
1
x
2
=224．
即（4m-8）
2
-2×4m
2
=224，
∴m
2
-8m-20=0，
（m-10）（m+2）=0，
∴m
1
=10，m
2
=-2．
∵△=（m-2）
2
-m
2
=4-4m≥0，
∴0＜m≤1，
∴m
1
=10，m
2
=-2都不符合题意，
故不存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．
解：假设存在，则有x
1
2
+x
2
2
=224．
∵x
1
+x
2
=4m-8，
x
1
x
2
=4m
2
，
∴（x
1
+x
2
）
2
-2x
1
x
2
=224．
即（4m-8）
2
-2×4m
2
=224，
∴m
2
-8m-20=0，
（m-10）（m+2）=0，
∴m
1
=10，m
2
=-2．
∵△=（m-2）
2
-m
2
=4-4m≥0，
∴0＜m≤1，
∴m
1
=10，m
2
=-2都不符合题意，
故不存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．
考点梳理
考点
分析
点评
根与系数的关系；根的判别式．
利用根与系数的关系，化简x
1
2
+x
2
2
=224，即（x
1
+x
2
）
2
-2x
1
x
2
=224．根据根与系数的关系即可得到关于m的方程，解得m的值，再判断m是否符合满足方程根的判别式．
本题考查了一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．考查了根与系数的关系，也考查了存在性问题的解题方法和格式．
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