试题

若x₁，x₂是关于x的方程（x-2）（x-3）=p的两个正实数根．
（1）求出p的取值范围．
（2）如果x₁，x₂是直角三角形的两直角边的长，那么p取多少时，此时直角三角形的面积最大，最大面积为多少？

解：（1）由原方程，得
x²-5x+6-p=0，
∵x₁，x₂是关于x的方程（x-2）（x-3）=p的两个正实数根，
∴x₁·x₂=6-p＞0，即p＜6①
△=25-4×（6-p）≥0，解得p≥-

1

4

②
由①②，得
-

1

4

≤p＜6；

（2）设直角三角形的面积是S．
∵x₁，x₂是直角三角形的两直角边的长，
∴S=

1

2

x₁·x₂
=

1

2

×（6-p）
当p取最小值-

1

4

时，S_最大=

1

2

×【6-(-

1

4

)】=

25

8

，即S_最大=

25

8

．
解：（1）由原方程，得
x²-5x+6-p=0，
∵x₁，x₂是关于x的方程（x-2）（x-3）=p的两个正实数根，
∴x₁·x₂=6-p＞0，即p＜6①
△=25-4×（6-p）≥0，解得p≥-

1

4

②
由①②，得
-

1

4

≤p＜6；

（2）设直角三角形的面积是S．
∵x₁，x₂是直角三角形的两直角边的长，
∴S=

1

2

x₁·x₂
=

1

2

×（6-p）
当p取最小值-

1

4

时，S_最大=

1

2

×【6-(-

1

4

)】=

25

8

，即S_最大=

25

8

．