试题

已知关于x的方程x²-2（k+1）x+k²+2k-

5

4

=0 ①．
（1）求证：对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根；
（2）如果a是关于y的方程y²-(x1-k-

1

2

)y+（x₁-k）（x₂-k）+

1

4

=0 ②的根，其中x₁、x₂为方程①的两个实数根，且x₁＜x₂，求代数式(

1

a

-

a

a+1

)÷

4

a+1

·(a2-1)的值．

（1）证明：∵△=[-2（k+1）]²-4×（k²+2k-

5

4

），
=4k²+8k+4-4k²-8k+5，
=9＞0，
∴对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根；

（2）∵x₁＜x₂，
∴x₁=

2(k+1)- 9

2×1

=k-

1

2

，
∴x₁-k-

1

2

=k-

1

2

-k-

1

2

=-1，
又∵x₁+x₂=-

b

a

=2（k+1），x₁·x₂=

c

a

=k²+2k-

5

4

，
∴（x₁-k）（x₂-k）+

1

4

，
=x₁·x₂-k（x₁+x₂）+k²+

1

4

，
=k²+2k-

5

4

-2k（k+1）+

1

4

，
=k²+2k-

5

4

-2k²-2k+k²+

1

4

，
=-1，
∴关于y的方程为y²+y-1=0，
∵a是方程的解，
∴a²+a-1=0，
∴1-a²=a，
(

1

a

-

a

a+1

)÷

4

a+1

·(a2-1)=

a+1-a2

a(a+1)

×

a+1

4

×（a²-1）=

2a

a(a+1)

×

a+1

4

×（a²-1）=-

1

2

a，
根据求根公式可得a=

-1± 1+4

2

=

-1± 5

2

，
∴-

1

2

a=-

1

2

×

-1± 5

2

=

1± 5

4

，
故代数式的值为

1+ 5

4

或

1- 5

4

．
（1）证明：∵△=[-2（k+1）]²-4×（k²+2k-

5

4

），
=4k²+8k+4-4k²-8k+5，
=9＞0，
∴对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根；

（2）∵x₁＜x₂，
∴x₁=

2(k+1)- 9

2×1

=k-

1

2

，
∴x₁-k-

1

2

=k-

1

2

-k-

1

2

=-1，
又∵x₁+x₂=-

b

a

=2（k+1），x₁·x₂=

c

a

=k²+2k-

5

4

，
∴（x₁-k）（x₂-k）+

1

4

，
=x₁·x₂-k（x₁+x₂）+k²+

1

4

，
=k²+2k-

5

4

-2k（k+1）+

1

4

，
=k²+2k-

5

4

-2k²-2k+k²+

1

4

，
=-1，
∴关于y的方程为y²+y-1=0，
∵a是方程的解，
∴a²+a-1=0，
∴1-a²=a，
(

1

a

-

a

a+1

)÷

4

a+1

·(a2-1)=

a+1-a2

a(a+1)

×

a+1

4

×（a²-1）=

2a

a(a+1)

×

a+1

4

×（a²-1）=-

1

2

a，
根据求根公式可得a=

-1± 1+4

2

=

-1± 5

2

，
∴-

1

2

a=-

1

2

×

-1± 5

2

=

1± 5

4

，
故代数式的值为

1+ 5

4

或

1- 5

4

．