试题

已知：关于x的一元二次方程mx²-3（m-1）x+2m-3=0（m为实数）
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根；
（3）若m为整数，且方程的两个根均为正整数，求m的值及方程所有的根．

解：（1）∵△=b²-4ac=[-3（m-1）]²-4m（2m-3）=（m-3）²，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴（m-3）²＞0且 m≠0，
∴m≠3且 m≠0，
∴m的取值范围是m≠3且 m≠0；

（2）证明：由求根公式x=

-b± b2-4ac

2a

=

3(m-1)±(m-3)

2m

，
∴x1=

3m-3+m-3

2m

=

2m-3

m

=2-

3

m

，x2=

3m-3-m+3

2m

=1
∴无论m为何值，方程总有一个固定的根是1；

（3）∵m为整数，且方程的两个根均为正整数，
∴x1=2-

3

m

必为整数，
∴m=±1或m=±3，
当m=1时，x₁=-1（舍去）；当m=-1时，x₁=5；当m=3时，x₁=1；当m=-3时，x₁=3．
∴m=-1或m=±3．
解：（1）∵△=b²-4ac=[-3（m-1）]²-4m（2m-3）=（m-3）²，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴（m-3）²＞0且 m≠0，
∴m≠3且 m≠0，
∴m的取值范围是m≠3且 m≠0；

（2）证明：由求根公式x=

-b± b2-4ac

2a

=

3(m-1)±(m-3)

2m

，
∴x1=

3m-3+m-3

2m

=

2m-3

m

=2-

3

m

，x2=

3m-3-m+3

2m

=1
∴无论m为何值，方程总有一个固定的根是1；

（3）∵m为整数，且方程的两个根均为正整数，
∴x1=2-

3

m

必为整数，
∴m=±1或m=±3，
当m=1时，x₁=-1（舍去）；当m=-1时，x₁=5；当m=3时，x₁=1；当m=-3时，x₁=3．
∴m=-1或m=±3．