试题

题目：
设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-（m-1）x+1=0有有理根，求m的值．
答案
解：一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令
△=（m-1）2-4m=n2，
其中n是非负整数，于是
m2-6m+1=n2，
所以（m-3）2-n2=8，
（m-3+n）（m-3-n）=8．
由于m-3+n≥m-3-n，并且
（m-3+n）+（m-3-n）=2（m-3）
是偶数，所以m-3+n与m-3-n同奇偶，所以
m-3+n=4
m-3-n=2
m-3+n=-2
m-3-n=-4

∴
m=6
n=1
；
m=0
n=1
（舍去）
∴m=6，这时方程的两根为
1
2
，
1
3
．
∴二次方程mx2-（m-1）x+1=0有有理根m的值为6．
解：一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令
△=（m-1）2-4m=n2，
其中n是非负整数，于是
m2-6m+1=n2，
所以（m-3）2-n2=8，
（m-3+n）（m-3-n）=8．
由于m-3+n≥m-3-n，并且
（m-3+n）+（m-3-n）=2（m-3）
是偶数，所以m-3+n与m-3-n同奇偶，所以
m-3+n=4
m-3-n=2
m-3+n=-2
m-3-n=-4

∴
m=6
n=1
；
m=0
n=1
（舍去）
∴m=6，这时方程的两根为
1
2
，
1
3
．
∴二次方程mx2-（m-1）x+1=0有有理根m的值为6．
考点梳理
一元二次方程的整数根与有理根；奇数与偶数；完全平方数；根的判别式．
利用一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．
此题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及整数的奇偶性和完全平方数等知识，综合性较强．
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