试题

已知a、b、c都是正整数，且抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个不同的交点A、B，若A、B到原点的距离都小于1，求a+b+c的最小值．

解：据题意得，方程ax²+bx+c=0有两个相异根，都在（-1，0）中，
故当x=-1时，y＞0，则a-b+c＞0，一元二次方程ax²+bx+c=0的两根

c

a

=x₁x₂＜1，且b²-4ac＞0①，
可见a-b+c≥1②，且a＞c③，
所以a+c≥b+1＞2

ac

+1，可得（

a

-

c

）²＞1，
③得，

a

＞

c

+1，故a＞4，
又因为b＞2

ac

≥2

5×1

＞4，分别取a、b、c的最小整数5、5、1．
经检验，符合题意，
所以a+b+c=11最小．
故答案为：11．
解：据题意得，方程ax²+bx+c=0有两个相异根，都在（-1，0）中，
故当x=-1时，y＞0，则a-b+c＞0，一元二次方程ax²+bx+c=0的两根

c

a

=x₁x₂＜1，且b²-4ac＞0①，
可见a-b+c≥1②，且a＞c③，
所以a+c≥b+1＞2

ac

+1，可得（

a

-

c

）²＞1，
③得，

a

＞

c

+1，故a＞4，
又因为b＞2

ac

≥2

5×1

＞4，分别取a、b、c的最小整数5、5、1．
经检验，符合题意，
所以a+b+c=11最小．
故答案为：11．