试题

设a，b为整数，并且一元二次方程x²+（2a+b+3）x+（a²+ab+6）=0有等根α，而一元二次方程2ax²+（4a-2b-2）x+（2a-2b-1）=0有等根β；那么，以α，β为根的整系数一元二次方程是．

解：∵a，b为整数，并且一元二次方程x²+（2a+b+3）x+（a²+ab+6）=0有等根α，而一元二次方程2ax²+（4a-2b-2）x+（2a-2b-1）=0有等根β，
∴（2a+b+3）²-4（a²+ab+6）=0，即（b+3）²=12（2-a），①
（4a-2b-2）²-8a（2a-2b-1）=0，即（b+1）²=2a，②
①+②×6得，7b²+18b-9=0，（7b-3）（b+3）=0，
解得b₁=

3

7

，b₂=-3，
∵b为整数，
∴b=-3，
把b=-3代入②得，a=2，
所以两个方程分别是：x²+4x+4=0和4x²+12x+9=0，即（x+2）²=0，（2x+3）²=0，
∴α=-2，β=-

3

2

，
∴以α，β为根一元二次方程是x²-（-2-

3

2

）x+（-2）×（-

3

2

）=0，
系数化为整数为2x²+7x+6=0．
故答案为2x²+7x+6=0．