试题
题目：
若正实数a、b满足ab=a+b+3，则a
2
+b
2
的最小值是
18
18
．
答案
18
解：设a+b=m，则ab=m+3，以a、b为根构造方程得x
2
-mx+m+3=0，
△=m
2
-4（m+3）=m
2
-4m-12≥0，且m＞0，
解得，m≥6，
∴a
2
+b
2
=（a+b）
2
-2ab=（m-1）
2
-7，
当m=6时，
a
2
+b
2
可取得最小值为18．
故答案为：18．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
根与系数的关系；根的判别式．
设a+b=m，则ab=m+3，以a、b为根构造出一元二次方程，再由一元二次方程根的判别式得出△≥0，求出m的取值范围，再把m的最小值代入a
2
+b
2
即可求出其最小值．
本题考查的是一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，设出a+b=m并构造出以a、b为根的一元二次方程是解答此题的关键．
探究型．
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