试题

（2013·厦门）若x₁，x₂是关于x的方程x²+bx+c=0的两个实数根，且|x₁|+|x₂|=2|k|（k是整数），则称方程x²+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x²-6x-27=0，x²-2x-8=0，x2+3x-

27

4

=0，x²+6x-27=0，x²+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．
（1）判断方程x²+x-12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；
（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x²+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．

解：（1）不是，
解方程x²+x-12=0得，x₁=3，x₂=-4．
|x₁|+|x₂|=3+4=7=2×3.5．
∵3.5不是整数，
∴x²+x-12=0不是“偶系二次方程；

（2）存在．理由如下：
∵x²-6x-27=0和x²+6x-27=0是偶系二次方程，
∴假设c=mb²+n，
当b=-6，c=-27时，
-27=36m+n．
∵x²=0是偶系二次方程，
∴n=0时，m=-

3

4

，
∴c=-

3

4

b²．
∵x2+3x-

27

4

=0是偶系二次方程，
当b=3时，c=-

3

4

×3²．
∴可设c=-

3

4

b²．
对于任意一个整数b，c=-

3

4

b²时，
△=b²-4ac，
=4b²．
x=

-b±2b

2

，
∴x₁=-

3

2

b，x₂=

1

2

b．
∴|x₁|+|x₂|=2|b|，
∵b是整数，
∴对于任何一个整数b，c=-

3

4

b²时，关于x的方程x²+bx+c=0是“偶系二次方程”．
解：（1）不是，
解方程x²+x-12=0得，x₁=3，x₂=-4．
|x₁|+|x₂|=3+4=7=2×3.5．
∵3.5不是整数，
∴x²+x-12=0不是“偶系二次方程；

（2）存在．理由如下：
∵x²-6x-27=0和x²+6x-27=0是偶系二次方程，
∴假设c=mb²+n，
当b=-6，c=-27时，
-27=36m+n．
∵x²=0是偶系二次方程，
∴n=0时，m=-

3

4

，
∴c=-

3

4

b²．
∵x2+3x-

27

4

=0是偶系二次方程，
当b=3时，c=-

3

4

×3²．
∴可设c=-

3

4

b²．
对于任意一个整数b，c=-

3

4

b²时，
△=b²-4ac，
=4b²．
x=

-b±2b

2

，
∴x₁=-

3

2

b，x₂=

1

2

b．
∴|x₁|+|x₂|=2|b|，
∵b是整数，
∴对于任何一个整数b，c=-

3

4

b²时，关于x的方程x²+bx+c=0是“偶系二次方程”．