试题

题目：
方程x2+2ax+a-4=0恒有相异两实根，若方程x2+2ax+k=0也有相异两实根，且其两根介于上面方程的两根之间，则k的取值范围是
a-4＜k＜a2
a-4＜k＜a2
．
答案
a-4＜k＜a2

解：∵方程x2+2ax+a-4=0恒有相异两实根，
∴△＞0，而△=4a2-4（a-4）=4（a2-a+4）=4[（a-
1
2
）2+
15
4
]，
又∵方程x2+2ax+k=0有相异两实根，
∴△′=4a2-4k＞0，即k＜a2；
对于二次函数y1=x2+2ax+a-4，y2=x2+2ax+k，它们的对称轴相同，且与x轴都有两个不同得交点，要让y2与x轴两个交点都在y1与x轴两个交点之间，则要满足y2与y轴的交点在y1与y轴的交点上方，如图，
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则有k＞a-4，
所以k的取值范围是 a-4＜k＜a2．
故答案为a-4＜k＜a2．
考点梳理
根的判别式．
由方程x2+2ax+a-4=0恒有相异两实根，则△＞0，而△=4a2-4（a-4）=4（a2-a+4）=4[（a-
1
2
）2+
15
4
]，得a为任意实数，由方程x2+2ax+k=0也有相异两实根，△′=4a2-4k＞0，即k＜a2；并且它的两根介于上面方程的两根之间，可利用二次函数的图象继续求k的范围．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了运用二次函数图象解决不等式的问题．
函数思想．
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