试题

题目：
青果学院如图，已知直线AB：y=
4
3
x+b交x轴于点A（-3，0），交y轴于点B，过点B作BC⊥AB交x轴于点C．
（1）试证明：△ABC∽△AOB；
（2）求△ABC的周长．
答案
解：（1）∵BC⊥AB，
∴∠ABC=∠AOB，
∠A=∠A，
AB=BA，
∴△ABC∽△AOB；

（2）∴直线AB：y=
4
3
x+b交x轴于点A（-3，0），
∴b=4，
∴B（0，4）
∴OB=4，
∵A（-3，0），
∴OA=3，
∴AB=5，
∵△ABC∽△AOB，
∴
AB
BC
=
AO
BO
，
∴
5
BC
=
3
4
，
∴BC=
20
3
，
∴AC=
25
3
，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=5+
20
3
+
25
3
=20．
解：（1）∵BC⊥AB，
∴∠ABC=∠AOB，
∠A=∠A，
AB=BA，
∴△ABC∽△AOB；

（2）∴直线AB：y=
4
3
x+b交x轴于点A（-3，0），
∴b=4，
∴B（0，4）
∴OB=4，
∵A（-3，0），
∴OA=3，
∴AB=5，
∵△ABC∽△AOB，
∴
AB
BC
=
AO
BO
，
∴
5
BC
=
3
4
，
∴BC=
20
3
，
∴AC=
25
3
，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=5+
20
3
+
25
3
=20．
考点梳理
待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质．
（1）根据三角形的判定与性质得出∠ABC=∠AOB，∠A=∠A，AB=BA，即可证出△ABC∽△AOB；
（2）根据直线AB：y=
4
3
x+b交x轴于点A（-3，0），得出B点的坐标，即可求出AB的值，再根据△ABC∽△AOB，得出BC的值，再根据直角三角形的性质得出AC的值，然而求出△ABC的周长．
此题考查了待定系数法求一次函数的解析式；解题的关键是根据相似三角形的性质和直角三角形的性质进行求解．
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