试题

题目：
在正方形ABCD中，P是BC上一点，且BP=3PC，Q是CD得中点．青果学院
（1）证明△ADQ∽△QCP；（2）求证：AQ⊥QP．
答案
解：（1）∵BP=3PC，Q是CD的中点
∴
CP
DQ
=
CQ
AD
=
1
2
，又∵∠ADQ=∠QCP=90°，
∴△ADQ∽△QCP；
青果学院
（2）∵△ADQ∽△QCP，
∴∠AQD=∠QPC，∠DAQ=∠PQC，
∴∠PQC+∠DQA=∠DAQ+∠AQD=90°，
∴AQ⊥QP．
解：（1）∵BP=3PC，Q是CD的中点
∴
CP
DQ
=
CQ
AD
=
1
2
，又∵∠ADQ=∠QCP=90°，
∴△ADQ∽△QCP；
青果学院
（2）∵△ADQ∽△QCP，
∴∠AQD=∠QPC，∠DAQ=∠PQC，
∴∠PQC+∠DQA=∠DAQ+∠AQD=90°，
∴AQ⊥QP．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
（1）根据BP=3PC和Q是CD的中点，可以求得
CP
DQ
=
CQ
AD
，即可求证△ADQ∽△QCP；
（2）根据△ADQ∽△QCP可以求得∠PQC+∠DQA=90°，即可解题．
本题考查了相似三角形对应角相等的性质，考查了相似三角形的判定，本题中求证△ADQ∽△QCP是解题的关键．
证明题．
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