试题

题目：
青果学院已知：如图，在△ABC中，
AD
DB
=
AE
EC
．
（1）求证：
AB
DB
=
AC
EC
；
（2）如果AC=3，EC=1，求
S△ABC
S△BCD
的值．
答案
解：（1）∵
AD
DB
=
AE
EC
，
∴
AD
AB
=
AE
AC
，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
青果学院∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
∴
AB
DB
=
AC
EC
；

（2）∵AC=3，EC=1，
∴AE=AC-EC=2，
∴
AD
DB
=
AE
EC
=2，
∴
S△ACD
S△BCD
=
AD
BD
=2，
∴S△ACD=2S△BCD，
∵S△ABC=S△ACD+S△BCD=3S△BCD，
∴
S△ABC
S△BCD
=3．
解：（1）∵
AD
DB
=
AE
EC
，
∴
AD
AB
=
AE
AC
，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
青果学院∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
∴
AB
DB
=
AC
EC
；

（2）∵AC=3，EC=1，
∴AE=AC-EC=2，
∴
AD
DB
=
AE
EC
=2，
∴
S△ACD
S△BCD
=
AD
BD
=2，
∴S△ACD=2S△BCD，
∵S△ABC=S△ACD+S△BCD=3S△BCD，
∴
S△ABC
S△BCD
=3．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
（1）先根据比例的性质得出
AD
AB
=
AE
AC
，再由两组对应边的比相等，且夹角相等的两三角形相似，证明出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的对应角相等得出∠ADE=∠B，则DE∥BC，然后根据平行线分线段成比例定理得出
AB
DB
=
AC
EC
；
（2）先由已知条件得出
AD
DB
=
AE
EC
=2，再根据同高的两个三角形面积之比等于底之比，得出
S△ACD
S△BCD
=2，进而求出
S△ABC
S△BCD
的值．
本题考查了比例的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，三角形的面积公式，综合性较强，难度中等．（1）中证明出△ADE∽△ABC，是解题的关键，（2）中由同高的两个三角形面积之比等于底之比，得出
S△ACD
S△BCD
=2是解题的关键．
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