试题

如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，连接BM，BM的垂直平分线交BC的延长线于F，连接MF交CD于N．求证：
（1）BM=EF； 
（2）2CN=DN．

（1）证明：∵M为AD的中点，
∴AM=DM=

1

2

AD=

1

2

AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠EBF=∠AMB，
∵EF⊥BM，
∴∠A=∠BEF=90°，
∴△EBF∽△AMB，
∴

EF

BE

=

AB

AM

=

2

1

，
∴EF=2BE=BM，
即BM=EF；

（2）证明：过点M作MH⊥BC于点H，
设AB=2a，M是AD的中点，
则EF=BM=

5

a，
S_△BMF=

1

2

BM·EF=

5

2

a²，
∵S_△BHM+S_△MHF=

5

2

a²，
∴S_△BHM=a²
∴HF=CF+a，
S_△MHF=

1

2

×2a×（a+FC）=

5

2

a²-a²=

3

2

a²，
解得：FC=

1

2

a，
∵△DMN∽△CFN，
∴DN：CN=DM：CF=a：

1

2

a=2：1，
∴DN=2CN．
（1）证明：∵M为AD的中点，
∴AM=DM=

1

2

AD=

1

2

AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠EBF=∠AMB，
∵EF⊥BM，
∴∠A=∠BEF=90°，
∴△EBF∽△AMB，
∴

EF

BE

=

AB

AM

=

2

1

，
∴EF=2BE=BM，
即BM=EF；

（2）证明：过点M作MH⊥BC于点H，
设AB=2a，M是AD的中点，
则EF=BM=

5

a，
S_△BMF=

1

2

BM·EF=

5

2

a²，
∵S_△BHM+S_△MHF=

5

2

a²，
∴S_△BHM=a²
∴HF=CF+a，
S_△MHF=

1

2

×2a×（a+FC）=

5

2

a²-a²=

3

2

a²，
解得：FC=

1

2

a，
∵△DMN∽△CFN，
∴DN：CN=DM：CF=a：

1

2

a=2：1，
∴DN=2CN．