试题

题目：
青果学院如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD
（1）求证：△ABC∽△DCA；
（2）若AC=6，BC=9，试求梯形ABCD的中位线的长度．
答案
解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAD，
又∵∠B=∠ACD，
∴△ABC∽△DCA（两角对应相等，两三角形相似）；

（2）∵△ABC∽△DCA，
∴
AC
AD
=
BC
AC
，
即AC2=BC·AD．
∵AC=6，BC=9，
∴62=9·AD．
解得AD=4，
∴梯形ABCD的中位线长为
4+9
2
=6.5．
解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAD，
又∵∠B=∠ACD，
∴△ABC∽△DCA（两角对应相等，两三角形相似）；

（2）∵△ABC∽△DCA，
∴
AC
AD
=
BC
AC
，
即AC2=BC·AD．
∵AC=6，BC=9，
∴62=9·AD．
解得AD=4，
∴梯形ABCD的中位线长为
4+9
2
=6.5．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；梯形中位线定理．
（1）由AD∥BC，可得∠ACB=∠DAC，再利用∠B=∠ACD，得出△ABC∽△DCA；
（2）根据两组角相等可求得△ABC∽△DCA，可得AC2=BC·AD，进而求得AD的值，根据梯形的中位线定理即可求得中位线的长度．
此题主要考查梯形的中位线定理和相似三角形的有关知识，利用相似三角形的性质得出
AC
AD
=
BC
AC
是解题关键．
几何综合题．
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