试题

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为正方形，E点在x轴的正半轴上运动，点F在CB边上，且∠OAE=∠FAE
在图①中，E点在OC边上，CE=

1

2

OC，若延长AE、BC相交于点H，由∠OAE=∠FAE和AO∥BC，易知∠FAE=∠H，得AF=HF；由于E为OC中点，AO∥BC，可得△AOE≌△HCE，有AO=CH，又因AO=OC，可得CH=OC，所以有AF=CF+OC
（1）若E点在OC边上，CE=

1

3

OC，（如图②）请探索AF、FC、OC三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）若E点在OC边上，CE=

1

n

OC（n是大于1的整数），请直接写出AF、FC、OC之间的数量关系（不要求证明）；
（3）若A点的坐标为（0，6），E点在x轴的正半轴上运动，点F在直线CB上，且∠OAE=∠FAE；当AF和CF相差2个单位长度时，试求出此时E点的坐标．

解：（1）延长AE、BC相交于点H．
∵AO∥BC，
∴∠AOC=∠HCE，∠OAE=∠CHE，
∴△AOE∽△HCE，
∴AO：CH=OE：CE=2：1，
∴CH=

1

2

OA．
∵∠OAE=∠CHE，∠OAE=∠FAE，
∴∠FAE=∠H，
∴AF=HF；
又HF=CF+CH，OC=OA，
∴AF=CF+

1

2

OC；

（2）AF=CF+

1

n-1

OC

（3）当E在OC边上时，AF=CF+

1

n-1

OC，
∴AF-CF=

1

n-1

OC，
即2=

1

n-1

·6，
∴n=4；
E为（4.5，0）；（2分）
当E在OC延长线上时，AF=CF-

1

n+1

OC，
∴CF-AF=

1

n+1

OC，
即2=

1

n+1

·6，
∴n=2；
E为（8，0）．（3分）
解：（1）延长AE、BC相交于点H．
∵AO∥BC，
∴∠AOC=∠HCE，∠OAE=∠CHE，
∴△AOE∽△HCE，
∴AO：CH=OE：CE=2：1，
∴CH=

1

2

OA．
∵∠OAE=∠CHE，∠OAE=∠FAE，
∴∠FAE=∠H，
∴AF=HF；
又HF=CF+CH，OC=OA，
∴AF=CF+

1

2

OC；

（2）AF=CF+

1

n-1

OC

（3）当E在OC边上时，AF=CF+

1

n-1

OC，
∴AF-CF=

1

n-1

OC，
即2=

1

n-1

·6，
∴n=4；
E为（4.5，0）；（2分）
当E在OC延长线上时，AF=CF-

1

n+1

OC，
∴CF-AF=

1

n+1

OC，
即2=

1

n+1

·6，
∴n=2；
E为（8，0）．（3分）