试题

题目：
青果学院已知：如图，·ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于点H，BF、AD的延长线相交于点G．
求证：（1）AB=BH；（2）△ABG∽△HEB；（3）AB2=GA·HE．
答案
证明：（1）∵DE⊥BC于E，∠DBC=45°，
∴∠BDE=45°，
∴BE=DE，
∵BF⊥CD于F，DE⊥BC于E，
∴∠HBE+∠C=90°，∠CDE+∠C=90°，
∴∠HBE=∠CDE，
在△HBE和△CDE中，
∠HBE=∠CDE
BE=DE
∠HEB=∠CED=90°
，
∴△HBE≌△CDE（ASA），
∴BH=CD，
∵·ABCD中，AB=CD，
∴AB=BH；

（2）∵BF⊥CD于F，
∴∠BFC=90°，
∵·ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABG=∠BFC=90°，
∵·ABCD中，AD∥BC，
∴∠G=∠HBE，
∴△ABG∽△HEB；

（3）∵△ABG∽△HEB，
∴
AB
HE
=
GA
BH
，
∵由（1）知AB=BH
∴即AB2=GA·HE．
证明：（1）∵DE⊥BC于E，∠DBC=45°，
∴∠BDE=45°，
∴BE=DE，
∵BF⊥CD于F，DE⊥BC于E，
∴∠HBE+∠C=90°，∠CDE+∠C=90°，
∴∠HBE=∠CDE，
在△HBE和△CDE中，
∠HBE=∠CDE
BE=DE
∠HEB=∠CED=90°
，
∴△HBE≌△CDE（ASA），
∴BH=CD，
∵·ABCD中，AB=CD，
∴AB=BH；

（2）∵BF⊥CD于F，
∴∠BFC=90°，
∵·ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABG=∠BFC=90°，
∵·ABCD中，AD∥BC，
∴∠G=∠HBE，
∴△ABG∽△HEB；

（3）∵△ABG∽△HEB，
∴
AB
HE
=
GA
BH
，
∵由（1）知AB=BH
∴即AB2=GA·HE．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
（1）由·ABCD中，∠DBC=45°，易得BE=DE，又由DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，易得∠HBE=∠CDE，即可利用ASA判定△HBE≌△CDE，即可得BH=CD，又由·ABCD，易得AB=BH；
（2）易得∠ABG=∠BFC=90°，∠G=∠HBE，根据有两角对应相等的三角形相似，可判定△ABG∽△HEB；
（3）由△ABG∽△HEB，根据相似三角形的对应边成比例与AB=BH，易证得AB2=GA·HE．
此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用是解此题的关键．
证明题．
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