试题

题目：
青果学院如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD=3，CE=2，试求AB的长．
答案
证明（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC；
∴CD=BC-BD=AB-3；
∴∠BAD+∠ADB=120°
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°，
∴∠DAB=∠EDC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE；

（2）∵△ABD∽△DCE，
∴
AB
CD
=
BD
CE
，
∴
AB
AB-3
=
3
2
，
解得AB=9．
证明（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC；
∴CD=BC-BD=AB-3；
∴∠BAD+∠ADB=120°
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°，
∴∠DAB=∠EDC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE；

（2）∵△ABD∽△DCE，
∴
AB
CD
=
BD
CE
，
∴
AB
AB-3
=
3
2
，
解得AB=9．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
（1）由∠ADE=60°，可证得△ABD∽△DCE；可用等边三角形的边长表示出DC的长，
（2）由（1）根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长．
此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键．
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