试题

题目：
青果学院已知：在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB的垂直平分线交AB于E，AC于D，交BC的延长线于F．
求：（1）CD的长；（2）CF的长．
答案
解：（1）∵AB的垂直平分线交AB于E，
∴AD=BD，
设CD=x，
∵AC=4，∴AD=（4-x），即BD=4-x，
又∵BC=3，
∴根据勾股定理，得BD2=DC2+BC2，
即（4-x）2=x2+32，
16+x2-8x=x2+9，
-8x=-7，
x=
7
8
．
故CD=
7
8
．

（2）∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE，AD=BD，
∵直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=
AC2+BC2
=
42+32
=5，
∴AE=BE=
AB
2
=2.5，
由（1）知CD=
7
8
，∴AD=4-
7
8
=
25
8
，
∵AD=BD，∴BD=
25
8
，
根据勾股定理，得DE=
BD2-BE2
=
(
25
8
)2-2.52
=
15
8
，
在Rt△FCD与Rt△AED中，∵∠ADE=∠CDF，
∴Rt△FCD∽Rt△AED，
FC
AE
=
CD
DE
，即
FC
2.5
=
7
8
15
8
，解得，CF=
7
6
．
解：（1）∵AB的垂直平分线交AB于E，
∴AD=BD，
设CD=x，
∵AC=4，∴AD=（4-x），即BD=4-x，
又∵BC=3，
∴根据勾股定理，得BD2=DC2+BC2，
即（4-x）2=x2+32，
16+x2-8x=x2+9，
-8x=-7，
x=
7
8
．
故CD=
7
8
．

（2）∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE，AD=BD，
∵直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=
AC2+BC2
=
42+32
=5，
∴AE=BE=
AB
2
=2.5，
由（1）知CD=
7
8
，∴AD=4-
7
8
=
25
8
，
∵AD=BD，∴BD=
25
8
，
根据勾股定理，得DE=
BD2-BE2
=
(
25
8
)2-2.52
=
15
8
，
在Rt△FCD与Rt△AED中，∵∠ADE=∠CDF，
∴Rt△FCD∽Rt△AED，
FC
AE
=
CD
DE
，即
FC
2.5
=
7
8
15
8
，解得，CF=
7
6
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理．
（1）因为EF垂直平分AB，可得AD=BD，设出CD的长，在Rt△BDC中，根据勾股定理解答；
（2）先根据勾股定理求出DE的长，再求出Rt△FCD与Rt△AED，根据相似三角形的相似比解答即可．
此题主要考查线段的垂直平分线的性质相似三角形的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
几何图形问题．
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