试题

如图，已知矩形ABCD的边AB=2，BC=3，点P为AD边上的一动点（异于A、D），Q为BC上的任意一点，连接AQ、DQ，过点P作PE∥DQ交AQ于点E，作PF∥AQ交DQ于F．
（1）求证：△APE∽△PDF；
（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积y关于x的函数关系式．

（1）证明：∵PE∥DQ
∴△APE∽△ADQ；

（2）解：同（1）可证△APE∽△ADQ与△PDF∽△ADQ，及S_△PEF=

1

2

S_{平行四边形PEQF}，
根据相似三角形的面积之比等于相似比得平方，
∴

S△AEP

S△AQD

=（

x

3

）²，

S△DPE

S△ADQ

=（

3-x

3

）²，
∵S_△AQD=

1

2

AD×AB=

1

2

×3×2=3，
得S_△PEF=

1

2

S_{平行四边形PEQF}
=

1

2

（S_△AQD-S_△AEP-S_△DFP）
=

1

2

×[3-（

x

3

）2×3-（

3-x

3

）2×3]
=

1

2

（-

2

3

x²+2x）
=-

1

3

x²+x．
（1）证明：∵PE∥DQ
∴△APE∽△ADQ；

（2）解：同（1）可证△APE∽△ADQ与△PDF∽△ADQ，及S_△PEF=

1

2

S_{平行四边形PEQF}，
根据相似三角形的面积之比等于相似比得平方，
∴

S△AEP

S△AQD

=（

x

3

）²，

S△DPE

S△ADQ

=（

3-x

3

）²，
∵S_△AQD=

1

2

AD×AB=

1

2

×3×2=3，
得S_△PEF=

1

2

S_{平行四边形PEQF}
=

1

2

（S_△AQD-S_△AEP-S_△DFP）
=

1

2

×[3-（

x

3

）2×3-（

3-x

3

）2×3]
=

1

2

（-

2

3

x²+2x）
=-

1

3

x²+x．