试题

如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DF⊥AC，E是DF的中点，联结AE、BF．求证：（1）DF²=CF·AF； （2）AE⊥BF．

证明：（1）取CF的中点G，连接DG，DA，
∵D是BC的中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∵DF⊥AC，
∴∠DAF=∠FDC，
∴△DAF∽△DFC，
∴AF：DF=DF：CF，
∴DF²=CF·AF；
（2）∵E是DF的中点，G是FC的中点，
∴AF：DF=EF：FG，
∴△AFE∽△DFG，
∴∠FAE=∠FDG，
∵G是FC的中点
∴在△CBF中，DG∥BF，
∴∠GDF=∠BFD，
∴∠FAE=∠BFD，
∵AF⊥DF，
∴∠FAE+∠FEA=90°，
∴∠BFD+∠FEA=90°，
∴AE⊥BF．
证明：（1）取CF的中点G，连接DG，DA，
∵D是BC的中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∵DF⊥AC，
∴∠DAF=∠FDC，
∴△DAF∽△DFC，
∴AF：DF=DF：CF，
∴DF²=CF·AF；
（2）∵E是DF的中点，G是FC的中点，
∴AF：DF=EF：FG，
∴△AFE∽△DFG，
∴∠FAE=∠FDG，
∵G是FC的中点
∴在△CBF中，DG∥BF，
∴∠GDF=∠BFD，
∴∠FAE=∠BFD，
∵AF⊥DF，
∴∠FAE+∠FEA=90°，
∴∠BFD+∠FEA=90°，
∴AE⊥BF．