试题

题目：
如图Ⅰ，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3．青果学院
（1）如图Ⅱ，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，设BC=a，AC=b，AB=c，证明：S1=S2+S3．
（2）如图Ⅲ，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系．（不必证明）
（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系？．（不必证明）
答案
解：（1）∵S3=
π
8
AC2，S2=
π
8
BC2，S1=
π
8
AB2，
∴
π
8
AC2+
π
8
BC2=
π
8
AB2，
即
π
8
b2+
π
8
a2=
π
8
c2，
在Rt△ABC中，
∵b2+a2=c2，
∴S2+S3=S1．

（2）S1=S2+S3．
理由：由题意可得出：S1=
3
4
AB2，S2=
3
4
BC2，S3=
3
4
AC2，
∴则S1=
3
4
c2，S2=
3
4
a2，S3=
3
4
b2
∴S2+S3=
3
4
（a2+b2）=
3
4
c2=S1，
即S1=S2+S3．

（3）由（1）（2）可得出：S1=S2+S3．
解：（1）∵S3=
π
8
AC2，S2=
π
8
BC2，S1=
π
8
AB2，
∴
π
8
AC2+
π
8
BC2=
π
8
AB2，
即
π
8
b2+
π
8
a2=
π
8
c2，
在Rt△ABC中，
∵b2+a2=c2，
∴S2+S3=S1．

（2）S1=S2+S3．
理由：由题意可得出：S1=
3
4
AB2，S2=
3
4
BC2，S3=
3
4
AC2，
∴则S1=
3
4
c2，S2=
3
4
a2，S3=
3
4
b2
∴S2+S3=
3
4
（a2+b2）=
3
4
c2=S1，
即S1=S2+S3．

（3）由（1）（2）可得出：S1=S2+S3．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；勾股定理．
（1）分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系；
（2）分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系；
（3）分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系．
此题主要考查了三角形、正方形、圆的面积计算以及勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的公式，难度一般．
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