试题

题目：
青果学院如图所示，△ABC的面积为16，AB=4，D为AB上任一点，F为BD的中点，DE∥BC，FG∥BC，分别交AC于E、G，设AD=x．
（1）把△ADE的面积S1，用含x的代数式表示；
（2）把梯形DFGE的面积S2，用含x的代数式表示．
答案
解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
S1
S△ABC
=（
AD
AB
）2，即
S1
16
=（
x
4
）2，
∴S1=x2；

（2）∵FG∥BC，
∴△AFG∽△ABC，
∴
S△AFG
S△ABC
=（
AF
AB
）2，
∵F为BD的中点，
∴DF=BF=
1
2
（4-x），
∴AF=AD+DF=x+
1
2
（4-x）=
1
2
（4+x），
∴
S△AFG
16
=（
4+x
2
4
）2，
∴S△AFG=
x2+8x+16
4
，
∴S2=S△AFG-S1=
x2+8x+16
4
-x2=-
3
4
x2+2x+4．
解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
S1
S△ABC
=（
AD
AB
）2，即
S1
16
=（
x
4
）2，
∴S1=x2；

（2）∵FG∥BC，
∴△AFG∽△ABC，
∴
S△AFG
S△ABC
=（
AF
AB
）2，
∵F为BD的中点，
∴DF=BF=
1
2
（4-x），
∴AF=AD+DF=x+
1
2
（4-x）=
1
2
（4+x），
∴
S△AFG
16
=（
4+x
2
4
）2，
∴S△AFG=
x2+8x+16
4
，
∴S2=S△AFG-S1=
x2+8x+16
4
-x2=-
3
4
x2+2x+4．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
（1）先由DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方得出
S1
S△ABC
=（
AD
AB
）2，即可求出S1=x2；
（2）先由FG∥BC，得出△AFG∽△ABC，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方得出
S△AFG
S△ABC
=（
AF
AB
）2，化简得出S△AFG=
x2+8x+16
4
，再根据S2=S△AFG-S1即可求解．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，线段中点的定义，难度适中．利用相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
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