试题

已知矩形ABCD中，AD=nAB，E为AB的中点，BF⊥CE于点F，过点F作DF的垂线交直线BC于G．
（1）如图1，当n=1时，求证：△BFG∽△CFD；
（2）如图2，当n=2时，求证：CG=7BG．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠ABC=90°，
∴∠BEC+∠BCE=90°，
∵BF⊥CE，
∴∠FBC+∠BCE=90°，
∴∠FBC=∠BEC，
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE，
∴∠FBC=∠DCF，
∵BF⊥EC，FG⊥DF，
∴∠BFC=∠DFG=90°，
∴∠BFG=∠DFC=90°-∠GFC，
∵∠FBC=∠DCF，
∴△BFG∽△CFD．

（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC，AB=CD，
∵AD=2AB，AB=2BE，
∴AD=BC=4BE，
即

BE

BC

=

1

4

，
∵∠CBE=∠BFC=90°，∠FCB=∠FCB，
∴△CFB∽△CBE，
∴

BF

CF

=

EB

BC

=

1

4

，
∵△BFG∽△CFD，
∴

BF

CF

=

BG

CD

=

1

4

，
即CD=4BG，
∵AD=BC=2AB=2CD，
∴BC=8BG，
∴CG=BC-BG=7BG．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠ABC=90°，
∴∠BEC+∠BCE=90°，
∵BF⊥CE，
∴∠FBC+∠BCE=90°，
∴∠FBC=∠BEC，
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE，
∴∠FBC=∠DCF，
∵BF⊥EC，FG⊥DF，
∴∠BFC=∠DFG=90°，
∴∠BFG=∠DFC=90°-∠GFC，
∵∠FBC=∠DCF，
∴△BFG∽△CFD．

（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC，AB=CD，
∵AD=2AB，AB=2BE，
∴AD=BC=4BE，
即

BE

BC

=

1

4

，
∵∠CBE=∠BFC=90°，∠FCB=∠FCB，
∴△CFB∽△CBE，
∴

BF

CF

=

EB

BC

=

1

4

，
∵△BFG∽△CFD，
∴

BF

CF

=

BG

CD

=

1

4

，
即CD=4BG，
∵AD=BC=2AB=2CD，
∴BC=8BG，
∴CG=BC-BG=7BG．