试题

题目：
青果学院如图，在△ABC中，AD=3，AB=4
（1）如AC=2
3
，求证：△ACD∽△ABC；
（2）如∠ABC=∠ACD，求AC．
答案
（1）证明：∵AD=3，AB=4，AC=2
3
，
∴
AD
AC
=
AC
AB
=
3
2
，
∵∠A是公共角，
∴△ACD∽△ABC；

（2）解：∵∠ABC=∠ACD，∠A是公共角，
∴△ACD∽△ABC，
∴
AD
AC
=
AC
AB
，
∵AD=3，AB=4，
即
3
AC
=
AC
4
，
解得：AC=2
3
．
（1）证明：∵AD=3，AB=4，AC=2
3
，
∴
AD
AC
=
AC
AB
=
3
2
，
∵∠A是公共角，
∴△ACD∽△ABC；

（2）解：∵∠ABC=∠ACD，∠A是公共角，
∴△ACD∽△ABC，
∴
AD
AC
=
AC
AB
，
∵AD=3，AB=4，
即
3
AC
=
AC
4
，
解得：AC=2
3
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
（1）由：∵AD=3，AB=4，AC=2
3
，即可得
AD
AC
=
AC
AB
，又由∠A是公共角，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可证得：△ACD∽△ABC；
（2）由∠ABC=∠ACD，∠A是公共角，利用有两组角对应相等的两个三角形相似，即可证得：△ACD∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得AC的长．
此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
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