试题

题目：
青果学院在图中△ABC的外部任取一点P，连接PA、PB、PC，分别取PA、PB、PC的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．
（1）△ABC与△DEF相似吗？为什么？
（2）如果△ABC的周长为24，求△DEF的周长．
答案
青果学院解：（1）相似．
理由：∵D，E是PA，PB的中点，
∴DE=
1
2
AB，
∴
DE
AB
=
1
2
，
同理，
DF
AC
=
1
2
，
EF
BC
=
1
2
，
∴
DE
AB
=
DF
AC
=
EF
BC
=
1
2
，
∴△ABC∽△DEF；

（2）∵△ABC∽△DEF，且
DE
AB
=
DF
AC
=
EF
BC
=
1
2
，
∴△DEF的周长是：
1
2
×24=12．
青果学院解：（1）相似．
理由：∵D，E是PA，PB的中点，
∴DE=
1
2
AB，
∴
DE
AB
=
1
2
，
同理，
DF
AC
=
1
2
，
EF
BC
=
1
2
，
∴
DE
AB
=
DF
AC
=
EF
BC
=
1
2
，
∴△ABC∽△DEF；

（2）∵△ABC∽△DEF，且
DE
AB
=
DF
AC
=
EF
BC
=
1
2
，
∴△DEF的周长是：
1
2
×24=12．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
（1）相似，利用三角形的中位线定理，可以得到两个三角形的对应边的比相等，根据三边的比对应相等的三角形相似即可证得；
（2）两个三角形相似，且已知相似比，根据相似三角形的周长的比等于相似比即可求解．
本题考查了三角形的中位线定理，以及相似三角形的判定与性质，正确证明两个三角形的对应边的比相等是关键．
找相似题