试题

如图，E、F分别为正方形ABCD边BC与CD延长线上的点，且BE=DF，EF分别交线段AC、线段AD于M、N两点（E不与B、C重合）
（1）若AB=1，E是BC的中点，试求△AEF的面积；
（2）求证：△AEM∽△FCM；
（3）若S_△CEF：S_△AEF=1：2，试CE：CF的值．

（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BAD=∠BCD=∠ADF=90°，AB=AD=BC=1，
∵E为BC中点，
∴BE=

1

2

BC=

1

2

，
由勾股定理得：AE=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，
在△ABE和△ADF中

BE=DF ∠B=∠ADF AB=AD

∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AF=AE=

5

2

，∠FAD=∠EAB，
∵∠BAD=90°，
∴∠EAF=∠EAD+∠EAB+∠EAD=∠BAD=90°，
∴△AEF的面积是

1

2

×AE×AF=

1

2

×

5

2

×

5

2

=

5

8

．

（2）证明：∵∠BCD=∠EAF=90°，
∴∠BCD+∠EAF=180°，
∴C、E、A、F四点共圆，
∴∠CFE=∠CAE，∠FCA=∠FEA，
∴△AEM∽△FCM．

（3）解：∵S_△CEF：S_△AEF=1：2，
∴2×

1

2

×CE×CF=

1

2

×AE²，
∵AE²=AB²+BE²，CE=BC-BE=AB-BE，CF=CD+DF=AB+BE，
∴AB²+BE²=2（AB-BE）（AB+BE）=2AB²-2BE²，
AB²=3BE²，
AB=

3

BE，
∴

CE

CF

=

AB-BE

AB+BE

=

3 BE-BE

3 BE+BE

=

3 -1

3 +1

=

2- 3

1

，
即CE：CF=（2-

3

）：1．
（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BAD=∠BCD=∠ADF=90°，AB=AD=BC=1，
∵E为BC中点，
∴BE=

1

2

BC=

1

2

，
由勾股定理得：AE=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，
在△ABE和△ADF中

BE=DF ∠B=∠ADF AB=AD

∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AF=AE=

5

2

，∠FAD=∠EAB，
∵∠BAD=90°，
∴∠EAF=∠EAD+∠EAB+∠EAD=∠BAD=90°，
∴△AEF的面积是

1

2

×AE×AF=

1

2

×

5

2

×

5

2

=

5

8

．

（2）证明：∵∠BCD=∠EAF=90°，
∴∠BCD+∠EAF=180°，
∴C、E、A、F四点共圆，
∴∠CFE=∠CAE，∠FCA=∠FEA，
∴△AEM∽△FCM．

（3）解：∵S_△CEF：S_△AEF=1：2，
∴2×

1

2

×CE×CF=

1

2

×AE²，
∵AE²=AB²+BE²，CE=BC-BE=AB-BE，CF=CD+DF=AB+BE，
∴AB²+BE²=2（AB-BE）（AB+BE）=2AB²-2BE²，
AB²=3BE²，
AB=

3

BE，
∴

CE

CF

=

AB-BE

AB+BE

=

3 BE-BE

3 BE+BE

=

3 -1

3 +1

=

2- 3

1

，
即CE：CF=（2-

3

）：1．