试题

题目：
青果学院如图，·ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=
1
2
CD．
（1）求证：△ABF∽△CEB；       
（2）DF=3，求BC的长．
答案
青果学院（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB∥CD，
∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠E，
在△ABF和△CEB中，∠A=∠C，∠ABF=∠E，
∴△ABF∽△CEB；

（2）解：∵DE=
1
2
CD，
∴EC=3DE．
如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△EFD∽△EBC，
∴
ED
EC
=
DF
BC
，即
1
3
=
3
BC
，
则BC=9．
青果学院（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB∥CD，
∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠E，
在△ABF和△CEB中，∠A=∠C，∠ABF=∠E，
∴△ABF∽△CEB；

（2）解：∵DE=
1
2
CD，
∴EC=3DE．
如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△EFD∽△EBC，
∴
ED
EC
=
DF
BC
，即
1
3
=
3
BC
，
则BC=9．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
（1）根据平行四边形对角相等可得∠A=∠C，对边平行可得AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等得到∠ABF=∠E，然后利用两角对应相等，两三角形相似即可证明．
（2）由相似三角形△EFD∽△EBC的对应边成比例来求BC的长度．
本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，找出对应角相等是证明的关键．
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