试题

如图，在等腰△ABC中AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，OP与AC相交与点M，则下列结论：
①点O是△PBC的外心；②△MAO∽△MPC；③AC=AO+AP；④S_△ABC=

4

5

S_{四边形AOCP}．
其中正确的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

C
解：①连接OB，
∵在等腰△ABC中AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴OB=OC，
∵OP=OC，
∴点O是△PBC的外心；
故①正确；
②∵在等腰△ABC中AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB=

180°-∠BAC

2

=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形，
∴∠OPC=60°，
∵∠OAM=

1

2

∠BAC=60°，
∴∠OAM=∠CPM，
∵∠AMO=∠CMP，
∴△MAO∽△MPC；
故②正确；
③在AC上截取AE=PA，
∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，

PA=PE  ∠APO=∠CPE  OP=CP

，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP；
故③正确；
④过点C作CH⊥AB于H，
∵∠PAC=∠DAC=60°，AD⊥BC，
∴CH=CD，
∴S_△ABC=

1

2

AB·CH，S_{四边形AOCP}=S_△ACP+S_△AOC=

1

2

AP·CH+

1

2

OA·CD=

1

2

AP·CH+

1

2

OA·CH=

1

2

CH·（AP+OA）=

1

2

CH·AC，
∵AB=AC，
∴S_△ABC=S_{四边形AOCP}．
故④错误．
故选C．