试题

题目：
△ABC的内角A和B都是锐角，CD是高，若
AD
BD
=(
AC
BC
)2，则△ABC是（　　）



答案
D
青果学院解：①若AD=BD，
∵
AD
BD
=(
AC
BC
)2，
∴AC=BC，
此时CD是高，符合题意，
即△ABC是等腰三角形；
②∵
AD
BD
=(
AC
BC
)2，
∴
AD·AB
BD·AB
=(
AC
BC
)2=
AC2
BC2
，
∴当AC2=AD·AB，BC2=BD·AB时成立，
即
AC
AD
=
AB
AC
，
∵∠A是公共角，
∴△ABC∽△ACD，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
故选D．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；因式分解的应用；勾股定理．
分别从当AD=BD时，可得△ABC是等腰三角形；当AC2=AD·AB，BC2=BD·AB时，△ABC是直角三角形．
此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
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