如图，小明做出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积．然后分别取△A1B1C1的三边中点A1，B1，C1，做出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2-青果题库-青果学院

题目：

如图，小明做出了边长为1的第1个正△A₁B₁C₁，算出了正△A₁B₁C₁的面积．然后分别取△A₁B₁C₁的三边中点A₁，B₁，C₁，做出了第2个正△A₂B₂C₂，算出了正△A₂B₂C₂的面积．用同样的方程，做出了第3个正△A₃B₃C₃，算出了第3个正△A₃B₃C₃的面积，由此可得，第n个正△A_nB_nC_n的面积是（　　）
A．

3

4

×(

1

4

)n-1
B．

3

4

×(

1

4

)n
C．

3

4

×(

1

2

)n-1
D．

3

4

×(

1

2

)n

答案

A
解：正△A₁B₁C₁的面积是

3

4

，
而△A₂B₂C₂与△A₁B₁C₁相似，并且相似比是1：2，
则面积的比是

1

4

，则正△A₂B₂C₂的面积是

3

4

×

1

4

，
因而正△A₃B₃C₃与正△A₂B₂C₂的面积的比也是

1

4

，即面积是

3

4

× (

1

4

)2；
依此类推，△A_nB_nC_n与△A_n-1B_n-1C_n-1的面积的比是

1

4

，即第n个三角形的面积

3

4

×（

1

4

）^n-1．
故选A．

考点梳理

相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形中位线定理．

试题