试题

题目：
青果学院如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB的中点，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥OC，垂足为E．若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是有理数的为（　　）



答案
D
解：因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OA=OB=OC=
AD+BD
2
是有理数．于是，OD=OA-AD是有理数．
∵CD⊥AB，DE⊥OC，
∴Rt△DOE∽Rt△COD，
∴OE=
OD2
OC
，DE=
DC·DO
OC
都是有理数，
而AC=
AD·AB
不一定是有理数．
故选：C．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
由于∠ACB=90°，AB=AD+BD，AD、DB和CD都是有理数，OC是中线，那么AB是有理数，且OA=OB=OC=
1
2
AB，
于是OA、OB、OC是有理数，根据图可知OD=OA-AD，那么OD是有理数；又在△CDO中，∠CDO=90，DE⊥OC，
于是△OED∽△ODC，利用相似三角形的性质可得OE：OD=OD：OC，DE：OD=CD：OC，从而可知OE、DE是有理数．
本题考查了相似三角形的判定和性质、有理数的加减乘除运算、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．注意几个有理数的加减乘除的结果还是有理数．
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