试题

题目：
青果学院如图，点E是Rt△ABC斜边AB的中点，△ADE是以E为直角顶点的等腰直角三角形，DE与AC交于点F，连接CD．若BC=CD，AB=2，则△ADF的面积为（　　）



答案
A
解：连结CE，如图，青果学院
∵点E是Rt△ABC斜边AB的中点，
∴AE=BE=CE=
1
2
AB=1，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=DE=1，AD=
2
AE=
2
，∠DAE=45°，
∴ED=EC=EB，
而BC=CD，
∴△EBC≌△EDC，
∴∠BEC=∠DEC，
而∠BED=90°，
∴∠BEC=45°，
∴∠BEC=∠DAE，
∴EC∥AD，
∴△ECF∽△DAF，
∴
EF
FD
=
EC
AD
=
1
2
，
∴
DF+EF
DF
=
2
+1
2
，即
1
DF
=
2
+1
2
，
∴DF=2-
2
，
∴△ADF的面积=
1
2
AE·DF=
1
2
×1×（2-
2
）=
2-
2
2
．
故选A．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AE=BE=CE=
1
2
AB=1，再根据等腰直角三角形的性质得AE=DE=1，AD=
2
AE=
2
，∠DAE=45°，
则可根据“SSS”判断△EBC≌△EDC，所以∠BEC=∠DEC=45°，于是EC∥AD，所以△ECF∽△DAF，根据相似的性质得
EF
FD
=
EC
AD
=
1
2
，利用比例性质可得到DF=2-
2
，然后根据三角形面积公式计算即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．也考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．
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