试题

如图，以·ABCD的边AB为直径的⊙O交对角线BD于P，交边BC于Q，连接AQ交BD于E．
（1）求证：AE²=EP·ED；
（2）若BP=PD，试判断·ABCD是何种特殊平行四边形？请说明理由；并求当AE=4，EQ=2时·ABCD的面积．

（1）证明：连接AP，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2（圆周角定理），
∴∠1=∠3，
又∵∠AEP=∠DEA（同一个角），
∴△AEP∽△DEA，
∴

AE

DE

=

PE

AE

，
∴AE²=EP·ED．

（2）解：∵AB是⊙O直径，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BD，
∵BP=PD，
∴AP垂直平分BD，
∴AD=AB，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△QBE，
∴

AD

BQ

=

AE

QE

=

1

2

，
设BQ=x，则AB=AD=2x，
∵∠AQB=90°（圆周角定理），
∴AQ²+BQ²=AB²，即x²+6²=（2x）²，
解得：x=2

3

，
∴BC=AB=4

3

，
∴·ABCD的面积=BC×AQ=4

3

×6=24

3

．
（1）证明：连接AP，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2（圆周角定理），
∴∠1=∠3，
又∵∠AEP=∠DEA（同一个角），
∴△AEP∽△DEA，
∴

AE

DE

=

PE

AE

，
∴AE²=EP·ED．

（2）解：∵AB是⊙O直径，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BD，
∵BP=PD，
∴AP垂直平分BD，
∴AD=AB，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△QBE，
∴

AD

BQ

=

AE

QE

=

1

2

，
设BQ=x，则AB=AD=2x，
∵∠AQB=90°（圆周角定理），
∴AQ²+BQ²=AB²，即x²+6²=（2x）²，
解得：x=2

3

，
∴BC=AB=4

3

，
∴·ABCD的面积=BC×AQ=4

3

×6=24

3

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