试题

已知：如图，BD、CE是△ABC的高，DG⊥BC与CE交于F，GD的延长线与BA的延长线交于点H．
求证：GD²=GF·GH．

证明：∵BD⊥AC，DG⊥BC，
∴∠DGC=∠DGB=90°，∠CDB=90°，
∴∠DCG+∠CDG=90°，∠CDG+∠BDG=90°，
∴∠DCG=∠BDG，
∵∠DGC=∠DGB，
∴△CGD∽△DGB，
∴

DG

BG

=

CG

DG

，
∴DG²=BG·CG，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB+∠CBE=90°，
又∠H+∠GBH=90°，
∴∠ECB=∠H，
∠FGC=∠HGB=90°，
∴△CGF∽△HGB，
∴

GF

GB

=

GC

GH

，
∴GF·GH=BG·GC，
∴GD²=GF·GH．
证明：∵BD⊥AC，DG⊥BC，
∴∠DGC=∠DGB=90°，∠CDB=90°，
∴∠DCG+∠CDG=90°，∠CDG+∠BDG=90°，
∴∠DCG=∠BDG，
∵∠DGC=∠DGB，
∴△CGD∽△DGB，
∴

DG

BG

=

CG

DG

，
∴DG²=BG·CG，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB+∠CBE=90°，
又∠H+∠GBH=90°，
∴∠ECB=∠H，
∠FGC=∠HGB=90°，
∴△CGF∽△HGB，
∴

GF

GB

=

GC

GH

，
∴GF·GH=BG·GC，
∴GD²=GF·GH．