试题

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F．
（1）BC²=·（只需填写一种情况）．
（2）求证：△BFD∽△BAE．

（1）解：BC²=BD·AB，理由如下：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
又CD⊥AB，即∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠A=90°，
∴∠DCB=∠A，又∠CDB=∠ACB=90°，
∴△BCD∽△BAC，
∴

BC

BA

=

BD

BC

，即BC²=BD·BA；

（2）证明：∵在Rt△EBC中，∠ECB=90°，
∴∠ECF+∠FCB=90°，
又CF⊥BE，即∠EFC=90°，
∴∠ECF+∠CEF=90°，
∴∠FCB=∠CEF，又∠CFB=∠ECB=90°，
∴△BCF∽△BEC，
∴

BC

BE

=

BF

BC

，即BC²=BE·BF，
由（1）得到BC²=BD·BA，
∴BE·BF=BD·BA，
∴

BD

BE

=

BF

BA

，又∠DBF=∠EBA，
∴△BFD∽△BAE．
故答案为：BD；AB．