试题

题目：
青果学院如图，点D、E在AB上，点F在AC上，点G在BC上，四边形DEFG是正方形，且DE2=BD·AE，△ABC是直角三角形吗？为什么？
答案
解：△ABC是直角三角形．理由如下：
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE=GD=EF，
∵DE2=BD·AE，
∴
DE
AE
=
BD
DE
，
即
GD
AE
=
BD
EF
，
又∵∠BDG=∠FEA=90°，
∴△AEF∽△GDB，
∴∠A=∠BGD，
在Rt△BGD中，∠B+∠BGD=180°-90°=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠C=180°-（∠A+∠B）=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形．
解：△ABC是直角三角形．理由如下：
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE=GD=EF，
∵DE2=BD·AE，
∴
DE
AE
=
BD
DE
，
即
GD
AE
=
BD
EF
，
又∵∠BDG=∠FEA=90°，
∴△AEF∽△GDB，
∴∠A=∠BGD，
在Rt△BGD中，∠B+∠BGD=180°-90°=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠C=180°-（∠A+∠B）=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
根据正方形的四条边都相等可得DE=GD=EF，然后把乘积式DE2=BD·AE转化为比例式，从而证明△AEF与△GDB相似，根据相似三角形的对应角相等得到∠A=∠BGD，再利用角的关系推出∠A+∠B=90°，所以△ABC是直角三角形．
本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的四条边都相等的性质，把乘积式转化为比例式，从而证明两三角形相似是解题的关键，也是本题的突破口．
证明题．
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