试题

题目：
青果学院如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，有下列结论：①∠BAE=30°；②S△ABE=4S△ECF；③CF=
1
3
CD；④△ABE∽△AEF．正确结论的个数是（　　）



答案
B
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+FEC=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△BAE∽△CEF，
∴
AB
EC
=
BE
CF
，
∵BE=CE=
1
2
BC，
∴
S△ABE
S△ECF
= (
AB
EC
)2 =
1
4
，
∴S△ABE=4S△ECF，故②正确；
∴CF=
1
2
EC=
1
4
CD，故③错误；
∴tan∠BAE=
BE
AB
=
1
2
，
∴∠BAE≠30°，故①错误；
设CF=a，则BE=CE=2a，AB=CD=AD=4a，DF=3a，
∴AE=2
5
a，EF=
5
a，AF=5a，
∴
AE
AF
=
2
5
a
5a
=
2
5
5
，
BE
EF
=
2a
5
a
=
2
5
5
，
∴
AE
AF
=
BE
EF
，
∴△ABE∽△AEF，故④正确．
∴②与④正确．
∴正确结论的个数有2个．
故选B．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
首先根据正方形的性质与同角的余角相等证得：△BAE∽△CEF，则可证得②正确，①③错误，利用有两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得△ABE∽△AEF，即可求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．题目综合性较强，注意数形结合思想的应用．
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