试题

题目：
如图，n+1个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P1M1N1N2面积为S1，四边形P2M2N2N3的面积为S2，…，四边形PnMnNnNn+1的面积记为Sn，通过逐一计算S1，S2，…，可得Sn=（　　）
青果学院



答案
A
青果学院解：如图，根据题意，小梯形中，
过D作DE∥BC交AB于E，
∵上底、两腰长皆为1，下底长为2，
∴AE=2-1=1，
∴△AED是等边三角形，
∴高h=1×sin60°=
3
2
，
S梯形=
1
2
×（1+2）×
3
2
=
3
3
4
，
设四边形PnMnNnNn+1的上方的小三角形的高为x，
根据小三角形与△AMnNn相似，ANn=2n，
由相似三角形对应边上高的比等于相似比，可知
x
h-x
=
1
2n
，
解得x=
h
2n+1
=
1
2n+1
·
3
2
，
∴Sn=S梯形-
1
2
×1×
1
2n+1
·
3
2
，
=
3
4
3
-
1
2n+1
·
3
4
；
故选A．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等腰梯形的性质．
先求出一个小梯形的高和面积，再根据相似三角形对应高的比等于对应边的比求出四边形PnMnNnNn+1上方的小三角形的高，然后用小梯形的面积减上方的小三角形的面积即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰梯形的性质．解答本题关键在于看出四边形PnMnNnNn+1的面积等于一个小梯形的面积减掉它上方的小三角形的面积，而小三角形的面积可以利用相似三角形的性质求出，此题也就解决了．
规律型．
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