试题

题目:
青果学院如图,AD是△ABC的角平分线,过点B、C分别作AD的垂线,垂足分别为点F、E,CF和EB相交于点P,联结AP.
(1)求证:
AF
AE
=
BF
EC

(2)S△ABF=4,S△AEC=9,求AP:EC.
答案
证明:(1)∵AD平分∠BAC,
∴∠BAF=∠CAE,
又∵BF⊥AD,CE⊥AD,
∴∠BFA=∠AEC=90°,
∴△ABF∽△ACE.青果学院

(2)由(1)有
AF
AE
=
BF
EC

∵BF⊥AD,CE⊥AD,
∴BF∥EC,
PF
BC
=
BF
EC

AF
AE
=
PF
PC

∴AP∥EC,
∵△APF∽△CFE,
∴AP:CE=CF:PF,
∵S△ABF=4,S△AEC=9,
∴CE:BF=2:3,
∴AP:CE=3:2.
证明:(1)∵AD平分∠BAC,
∴∠BAF=∠CAE,
又∵BF⊥AD,CE⊥AD,
∴∠BFA=∠AEC=90°,
∴△ABF∽△ACE.青果学院

(2)由(1)有
AF
AE
=
BF
EC

∵BF⊥AD,CE⊥AD,
∴BF∥EC,
PF
BC
=
BF
EC

AF
AE
=
PF
PC

∴AP∥EC,
∵△APF∽△CFE,
∴AP:CE=CF:PF,
∵S△ABF=4,S△AEC=9,
∴CE:BF=2:3,
∴AP:CE=3:2.
考点梳理
相似三角形的判定与性质.
(1)由AD是△ABC的角平分线,过点B、C分别作AD的垂线,可得∠BAF=∠CAE,∠BFA=∠AEC=90°,根据有两角对应相等的三角形相似,可得△ABF∽△ACE.
(2)由相似三角形的对应边成比例,可得
AF
AE
=
BF
EC
,即可得BF∥EC,由平行分线段成比例及其变形,即可得AP∥EC.
本题考查了相似三角形的性质与判定,以及平行线分线段成比例定理.解题的关键是数形结合思想的应用,注意仔细识图.
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