试题
题目:
如图,AD是△ABC的角平分线,过点B、C分别作AD的垂线,垂足分别为点F、E,CF和EB相交于点P,联结AP.
(1)求证:
AF
AE
=
BF
EC
;
(2)S
△ABF
=4,S
△AEC
=9,求AP:EC.
答案
证明:(1)∵AD平分∠BAC,
∴∠BAF=∠CAE,
又∵BF⊥AD,CE⊥AD,
∴∠BFA=∠AEC=90°,
∴△ABF∽△ACE.
(2)由(1)有
AF
AE
=
BF
EC
,
∵BF⊥AD,CE⊥AD,
∴BF∥EC,
∴
PF
BC
=
BF
EC
,
∴
AF
AE
=
PF
PC
,
∴AP∥EC,
∵△APF∽△CFE,
∴AP:CE=CF:PF,
∵S
△ABF
=4,S
△AEC
=9,
∴CE:BF=2:3,
∴AP:CE=3:2.
证明:(1)∵AD平分∠BAC,
∴∠BAF=∠CAE,
又∵BF⊥AD,CE⊥AD,
∴∠BFA=∠AEC=90°,
∴△ABF∽△ACE.
(2)由(1)有
AF
AE
=
BF
EC
,
∵BF⊥AD,CE⊥AD,
∴BF∥EC,
∴
PF
BC
=
BF
EC
,
∴
AF
AE
=
PF
PC
,
∴AP∥EC,
∵△APF∽△CFE,
∴AP:CE=CF:PF,
∵S
△ABF
=4,S
△AEC
=9,
∴CE:BF=2:3,
∴AP:CE=3:2.
考点梳理
考点
分析
点评
相似三角形的判定与性质.
(1)由AD是△ABC的角平分线,过点B、C分别作AD的垂线,可得∠BAF=∠CAE,∠BFA=∠AEC=90°,根据有两角对应相等的三角形相似,可得△ABF∽△ACE.
(2)由相似三角形的对应边成比例,可得
AF
AE
=
BF
EC
,即可得BF∥EC,由平行分线段成比例及其变形,即可得AP∥EC.
本题考查了相似三角形的性质与判定,以及平行线分线段成比例定理.解题的关键是数形结合思想的应用,注意仔细识图.
找相似题
(2013·自贡)如图,在平行四边形ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于E,交DC的延长线于F,BG⊥AE于G,BG=
4
2
,则△EFC的周长为( )
在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过点B、C作经过点A的直线l的垂线BD、CE,若BD=3cm,CE=4cm,求DE的长.
如图所示,已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点,BE、CF相交于点G,FG=20,求CF的长.
如图,是一块三角形土地,它的底边BC长为100米,高AH为80米,某单位要沿着底边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼,D、G分别在边AB、AC上,若大楼的宽是40米,求这个矩形的面积.
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