试题

题目：
青果学院如图，AD是△ABC的角平分线，过点B、C分别作AD的垂线，垂足分别为点F、E，CF和EB相交于点P，联结AP．
（1）求证：
AF
AE
=
BF
EC
；
（2）S△ABF=4，S△AEC=9，求AP：EC．
答案
证明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAE，
又∵BF⊥AD，CE⊥AD，
∴∠BFA=∠AEC=90°，
∴△ABF∽△ACE．青果学院

（2）由（1）有
AF
AE
=
BF
EC
，
∵BF⊥AD，CE⊥AD，
∴BF∥EC，
∴
PF
BC
=
BF
EC
，
∴
AF
AE
=
PF
PC
，
∴AP∥EC，
∵△APF∽△CFE，
∴AP：CE=CF：PF，
∵S△ABF=4，S△AEC=9，
∴CE：BF=2：3，
∴AP：CE=3：2．
证明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAE，
又∵BF⊥AD，CE⊥AD，
∴∠BFA=∠AEC=90°，
∴△ABF∽△ACE．青果学院

（2）由（1）有
AF
AE
=
BF
EC
，
∵BF⊥AD，CE⊥AD，
∴BF∥EC，
∴
PF
BC
=
BF
EC
，
∴
AF
AE
=
PF
PC
，
∴AP∥EC，
∵△APF∽△CFE，
∴AP：CE=CF：PF，
∵S△ABF=4，S△AEC=9，
∴CE：BF=2：3，
∴AP：CE=3：2．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
（1）由AD是△ABC的角平分线，过点B、C分别作AD的垂线，可得∠BAF=∠CAE，∠BFA=∠AEC=90°，根据有两角对应相等的三角形相似，可得△ABF∽△ACE．
（2）由相似三角形的对应边成比例，可得
AF
AE
=
BF
EC
，即可得BF∥EC，由平行分线段成比例及其变形，即可得AP∥EC．
本题考查了相似三角形的性质与判定，以及平行线分线段成比例定理．解题的关键是数形结合思想的应用，注意仔细识图．
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