试题

如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=10cm．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边经过点C，另一直角边交AB于点E．
（1）试证明△APE∽△DCP；
（2）当P滑动到什么位置时，AE=

9

4

cm？
（3）当∠CPD=30°时，求AE的长．

（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵∠EPC=90°，
∴∠APE+∠DPC=90°，
而∠AEP+∠APE=90°，
∴∠AEP=∠DPC，
∴△APE∽△DCP；

（2）解：设AP=x，则PD=10-x，
∵△APE∽△DCP，
∴AP：DC=AE：PD，即x：4=

9

4

：（10-x），解得x₁=1，x₂=9，
∴当P滑动到离A点1cm或9cm时，AE=

9

4

cm；

（3）解：∵∠CPD=30°，
∴PD=

3

DC=4

3

，
∴AP=10-4

3

，
∵△APE∽△DCP，
∴AP：DC=AE：PD，即（10-4

3

）：4=AE：4

3

，
∴AE=10

3

-12（cm）．
（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵∠EPC=90°，
∴∠APE+∠DPC=90°，
而∠AEP+∠APE=90°，
∴∠AEP=∠DPC，
∴△APE∽△DCP；

（2）解：设AP=x，则PD=10-x，
∵△APE∽△DCP，
∴AP：DC=AE：PD，即x：4=

9

4

：（10-x），解得x₁=1，x₂=9，
∴当P滑动到离A点1cm或9cm时，AE=

9

4

cm；

（3）解：∵∠CPD=30°，
∴PD=

3

DC=4

3

，
∴AP=10-4

3

，
∵△APE∽△DCP，
∴AP：DC=AE：PD，即（10-4

3

）：4=AE：4

3

，
∴AE=10

3

-12（cm）．