试题

题目：
青果学院如图，BC是⊙O的直径，P是⊙O上的一点，A是
BP
的中点，AG⊥BC，垂足为D，若BD=2，OD=3．
（1）求AG的长；
（2）求BE的长．
答案
解：（1）∵BD=2，OD=3；∴DC=8
∵AD2=BD×DC，
∴AD=
2×8
=4；

（2）连接OA交BP于H，青果学院
∵A是
BP
的中点，∴
BA
=
AP
，
∵AG⊥BC，∴
AB
=
BG
，∴
AB
+
BG
=
AB
+
AP
，
∴
AG
=
BP
，
∴BP=AG，∴
1
2
BP=
1
2
AG，
∴BH=AD=4；
在△BDE和△BHO中，∵∠B=∠B，∠EDB=∠OHB=90°
∴△BDE∽△BHO，
∴
BD
BH
=
BE
BO
；
又∵BD=2，OD=3，∴OB=5；
∴
2
4
=
BE
5
，
∴BE=
5
2
．
解：（1）∵BD=2，OD=3；∴DC=8
∵AD2=BD×DC，
∴AD=
2×8
=4；

（2）连接OA交BP于H，青果学院
∵A是
BP
的中点，∴
BA
=
AP
，
∵AG⊥BC，∴
AB
=
BG
，∴
AB
+
BG
=
AB
+
AP
，
∴
AG
=
BP
，
∴BP=AG，∴
1
2
BP=
1
2
AG，
∴BH=AD=4；
在△BDE和△BHO中，∵∠B=∠B，∠EDB=∠OHB=90°
∴△BDE∽△BHO，
∴
BD
BH
=
BE
BO
；
又∵BD=2，OD=3，∴OB=5；
∴
2
4
=
BE
5
，
∴BE=
5
2
．
考点梳理
垂径定理；相似三角形的判定与性质．
（1）据垂径定理，则可得AD=
1
2
AG，据相交弦定理可得AD2=BD×DC，AG可求．
（2）连接OA交BP于H，由A是
BP
的中点，可得OA垂直平分BP，BP=AG，BH的长度可求；再利用△BDE∽△BHO，对应边成比例，
BD
BH
=
BE
BO
=
DE
HO
，问题可求．
本题综合考查对垂径定理的掌握及所学知识点的灵活运用，第二问的解答关键是作辅助线，借助相似三角形的对应边成比例将问题解决．
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