试题

四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分线段AC，∠ABC=90°，AC交BD于O，
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若BH⊥AC于H，AH=1，BH=3，求四边形ABCD的面积．

（1）证明：∵AD∥BC，
∠DAO=∠BCO，
BD平分线段AC，
∴AO=CO，
∠AOD=∠COB（对顶角），
∴△AOD≌△COB，
∴BO=DO，
已知∠ABC=90°，AO=CO，
∴BO=AO=CO=DO，
即BD=AC且互相平分，
∴四边形ABCD是矩形；

（2）已知∠ABC=90°，BH⊥AC，
所以在直角三角形ABC中，
得BH²=AH·CH，
3²=1·CH，∴CH=9，
在直角三角形AHB和直角三角形BHC中由勾股定理得：
AB²=AH²+BH²=1²+3²=10，
BC²=BH²+CH²=3²+9²=90，
所以，AB=

10

，BC=3

10

，
又证得四边形ABCD是矩形，
所以四边形ABCD的面积为：AB·BC=

10

×3

10

=30．
答：四边形ABCD的面积是30．
（1）证明：∵AD∥BC，
∠DAO=∠BCO，
BD平分线段AC，
∴AO=CO，
∠AOD=∠COB（对顶角），
∴△AOD≌△COB，
∴BO=DO，
已知∠ABC=90°，AO=CO，
∴BO=AO=CO=DO，
即BD=AC且互相平分，
∴四边形ABCD是矩形；

（2）已知∠ABC=90°，BH⊥AC，
所以在直角三角形ABC中，
得BH²=AH·CH，
3²=1·CH，∴CH=9，
在直角三角形AHB和直角三角形BHC中由勾股定理得：
AB²=AH²+BH²=1²+3²=10，
BC²=BH²+CH²=3²+9²=90，
所以，AB=

10

，BC=3

10

，
又证得四边形ABCD是矩形，
所以四边形ABCD的面积为：AB·BC=

10

×3

10

=30．
答：四边形ABCD的面积是30．