试题

如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E为BC的中点，F为边CD上的点，CF=1
（1）求证：AE⊥EF；
（2）求点B到直线AF的距离．

（1）证明：如图1，
∵在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，CF=1，
∴∠ABC=∠C=90°，AB：EC=BE：CF=2：1，
∴△ABE∽△ECF，
∴∠BAE=∠CEF，
又∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠AEF=180°-（∠CEF+∠AEB）=90°，
∴AE⊥EF；

（2）解：如图2，连接BF，过点B作BG⊥AF于G．
∵CF=1，CD=4，∴DF=3．
在△ADF中，∵DF=3，AD=4，
∴由勾股定理得：AF=5．
∵S_△ABF=

1

2

AF·BG=S_{正方形ABCD}-S_△BCF-S_△ADF，
∴

1

2

×5×BG=4²-

1

2

×4×1-

1

2

×4×3，
∴BG=

16

5

．
故点B到直线AF的距离

16

5

．
（1）证明：如图1，
∵在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，CF=1，
∴∠ABC=∠C=90°，AB：EC=BE：CF=2：1，
∴△ABE∽△ECF，
∴∠BAE=∠CEF，
又∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠AEF=180°-（∠CEF+∠AEB）=90°，
∴AE⊥EF；

（2）解：如图2，连接BF，过点B作BG⊥AF于G．
∵CF=1，CD=4，∴DF=3．
在△ADF中，∵DF=3，AD=4，
∴由勾股定理得：AF=5．
∵S_△ABF=

1

2

AF·BG=S_{正方形ABCD}-S_△BCF-S_△ADF，
∴

1

2

×5×BG=4²-

1

2

×4×1-

1

2

×4×3，
∴BG=

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故点B到直线AF的距离

16

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