试题

如图，正方形ABCD中，P为对角线上的点，PB=AB，连PC，作CE⊥CP交AP的延长线于E，AE交CD于F，交BC的延长线于G，则下列结论：①E为FG的中点；②FG²=4CF·CD；③AD=DE；④CF=2DF．其中正确的个数是（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

C
解：①如图：正方形ABCD中BA=BC，∠ABP=∠CBP，BP=BP，
∴△ABP≌△CBP，那么∠1=∠2，
在直角三角形ABG中∠1与∠G互余，
∠PCE=90°，那么∠2与∠5互余，
∴∠5=∠G，
∴EC=EG．
在直角三角形FCG中∠3与∠G互余，∠4与∠5也互余，而∠5=∠G，
∴∠3=∠4，
∴EC=EF，
从而得出EG=EF，即E为FG的中点．
∴①正确．
③∵AB=BC，∠ABD=∠CBD，BP=BP，
∴△ABP≌△CBP，
∴∠1=∠2，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠DFA，
∵AB=BP，
∴∠1=∠BPA，
∵∠DPF=∠APB，
∵EF=CE，
∴∠3=∠4，
∴∠4=∠DPE，
∴D、P、C、E四点共圆，
∴∠DEA=∠DCP，
∵∠1+∠DAP=90°，∠2+∠DCP=90°，
∴∠DAP=∠DCP=∠DEA，
∴AD=DE，
∴③正确，
②∵∠3=∠4，AD=DE（③已求证），
∴△CEF∽△CDE，
∴

CE

CF

=

CD

CE

，即CE²=CF·CD，
∵∠3=∠4，
∴CE=EF，
∵E为FG的中点．
∴FG=2CE，即CE=

1

2

FG，
∴(

FG

2

)2=CF·CD，
即FG²=4CF·CD，
∴②正确．
④∵四边形ABCD是正方形，
∴△PDF∽△PBA，
∴

DF

AB

=

PD

BP

=

2 -1

1

，
∴

DF

AB-DF

=

1

2

，
∴

DF

CF

=

1

2

，
即CF=

2

DF，
∴④错误，
综上所述，正确的由①②③．
故选C．