试题

如图，P、Q是矩形ABCD的边BC和CD延长上的两点，AP与CQ相交于点E，且∠PAD=∠QAD，则①DQ=DE；②∠BAP=∠AQE；③AQ⊥PQ；④EQ=2CP；⑤S_△APQ=S_矩形ABCD．下列四个结论中正确的是（　　）
A．①②⑤
B．①③⑤
C．①②④
D．①②③④

A
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADQ=∠ADE=90°，
在△ADQ和△ADE中，
∵

∠PAD=∠QAD AD=AD ∠ADQ=∠ADE

，
∴△ADQ≌△ADE（ASA），
∴DQ=DE；故①正确；
∵∠BAP+∠PAD=∠AQE+∠QAD=90°，∠PAD=∠QAD，
∴∠BAP=∠AQE，故②正确；
∵当∠AQD=∠PQC时，可得∠AQP=90°，
∴此两角的值不能确定，故③错误；
∵DQ=DE，
∴EQ=2DQ，
∵DQ与CP不一定相等，故④错误；
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠CPE，
∵∠AED=∠PEC，
∴△ADE∽△PCE，
∴AD：PC=DE：CE，
∴DE·PC=EC·AD，
∵S_△APQ=S_△AEQ+S_△PEQ=

1

2

QE·AD+

1

2

QE·PC=DE·AD+DE·PC
S_矩形ABCD=S_△ADE+S_{四边形ABCE}=

1

2

DE·AD+

1

2

（EC+AB）·BC=

1

2

DE·AD+

1

2

（DE+2EC）·AD=

1

2

DE·AD+

1

2

DE·AD+EC·AD=DE·AD+EC·AD，
∴S_△APQ=S_矩形ABCD．故⑤正确．
故选A．