试题

题目：
青果学院如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别是高和角平分线，已知△BEC的面积是15，△CDE的面积为3，则△ABC的面积为（　　）



答案
A
青果学院解：过点E作EM⊥BC于M，EN⊥AC于N，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴EM=EN，
设S△ACD=x，
∵S△ACE=
1
2
AC·EN=
1
2
AE·CD，S△BCE=
1
2
BC·EM=
1
2
BE·CD，
∴
S△ACE
S△BCE
=
AC
BC
=
AE
BE
=
x+3
15
，
∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴
S△ACD
S△BCD
=
AC2
BC2
=（
x+3
15
）2，
∵
S△ACD
S△BCD
=
x
18
，
∴
x
18
=（
x+3
15
）2，
解得：x=2或4.5，
∴S△ABC=2+18=20或S△ABC=18+4.5=22.5．
故选A．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用；角平分线的性质．
首先过点E作EM⊥BC于M，EN⊥AC于N，根据角平分线的性质，即可得EM=EN，然后设S△ACD=x，根据三角形的面积求解方法，可得
S△ACE
S△BCE
=
AC
BC
=
AE
BE
=
x+3
15
，又由△ACD∽△CBD，可得
S△ACD
S△BCD
=
AC2
BC2
=（
x+3
15
）2，即可得方程：
x
18
=（
x+3
15
）2，解此方程即可求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质，角平分线的性质以及三角形面积的求解方法．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
压轴题；探究型．
找相似题