试题

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是AB的中点，BE平分∠ABC，分别交AC、CD于点E、F，过点E作EG∥AB，分别交BC、CD于点G、O，连接DG．下列结论：
①EG=AE；②∠BGD=∠BDG；③S_△ABE=2S_△CBE；④DF=

1

2

BG；⑤AC=（

2

+1）CF．
其中正确结论的个数为（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

B
解：如图，过点E作EH⊥AB于H，
∵BE平分∠ABC，
∴EH=EC，
∵∠ACB=90°，AC=BC，EG∥AB，
∴△ABC、△AEH和△ECG都是等腰直角三角形，
∴AE=

2

EH，EG=

2

EC，
∴EG=AE，故①正确；

由等腰直角三角形的性质可得，BG=EG=

2

CG，BD=

2

2

（CG+

2

CG）=（

2

2

+1）CG，
∴BG≠BD，
∴∠BGD≠∠BDG，故②错误；

又∵AE=

2

EH=

2

CE，
∴S_△ABE=

2

S_△CBE，故③错误；

∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=22.5°，
∵点D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠BDF=∠ACB=90°，
∴△BDF∽△BCE，
∴

DF

CE

=

BD

BC

=

2

2

，
又∵∠BEG=∠CGE-∠CBE=45°-22.5°=22.5°，
∴∠CBE=∠BEG，
∴BG=EG，
又∵EG=

2

CE，
∴DF=

2

2

CE=

2

2

×

2

2

BG=

1

2

BG，故④正确；

由等腰直角三角形的性质可得，BC=

2

CD，
CF=CD-DF=

2

2

BC-

1

2

BG，
∵CG=

2

2

EG=

2

2

BG，
∴BC=

2

2

BG+BG，
∴BG=（2-

2

）BC，
∴CF=

2

2

BC-

1

2

（2-

2

）BC=（

2

-1）BC，
∴BC=

1

2 -1

CF=（

2

+1）CF，
∴AC=（

2

+1）CF，故⑤正确．
综上所述，正确的有①④⑤共3个．
故选B．